quinta-feira, 17 de dezembro de 2009
quarta-feira, 16 de dezembro de 2009
sexta-feira, 13 de novembro de 2009
O que é Cultura de Massa?
A cultura de massa é formada por grande parte da população, o dito “povão”. Algo que domina a cabeça das pessoas de uma forma que acabam perdendo sua própria cultura. Isso acontece devido a grande variedade que as indústrias oferecem.Na charge de Quino mostra o personagem que até então desconhecia a televisão, ao vê-la simplesmente ficou super manipulado.
O porque das imagens?
A ovelha: é um animal fácil para ser comandado, ele obedece qualquer ordem sem reclamar.
O diabo: é visto pela sociedade como um maligno(quer sempre o mal)
A Televisão: é um meio de comunicação onde toda a população muito utilizada
O Homem: é dominado pela cultura de massa. (Televisão)
Falando da imagem...
Quino era um pastor que vivia feliz cuidando de suas ovelhas, desprezando os bens materiais.Certo dia o diabo veio atentá-lo e colocou em sua frente uma televisão, a partir deste momento ele mudou seu dia -a- dia em função da televisão, deixou inclusive seu trabalho(cuidar das ovelhas) de lado pra ficar na frente da TV.Até que chegou o momento que Quino virou uma ovelha, pois obedeceu aos comandos da mídia, representando que o ser humano domina-se fácil pela cultura de massa.
O porque das imagens?
A ovelha: é um animal fácil para ser comandado, ele obedece qualquer ordem sem reclamar.
O diabo: é visto pela sociedade como um maligno(quer sempre o mal)
A Televisão: é um meio de comunicação onde toda a população muito utilizada
O Homem: é dominado pela cultura de massa. (Televisão)
Falando da imagem...
Quino era um pastor que vivia feliz cuidando de suas ovelhas, desprezando os bens materiais.Certo dia o diabo veio atentá-lo e colocou em sua frente uma televisão, a partir deste momento ele mudou seu dia -a- dia em função da televisão, deixou inclusive seu trabalho(cuidar das ovelhas) de lado pra ficar na frente da TV.Até que chegou o momento que Quino virou uma ovelha, pois obedeceu aos comandos da mídia, representando que o ser humano domina-se fácil pela cultura de massa.
A MATEMÁTICA TEVE PAPEL FUNDAMENTAL NA EVOLUÇÃO DA AGRICULTURA
Desde o princípio se descobriu a necessidade de produzir alimentos e não só esperar que a natureza se encarregue desta tarefa.
Preparar a terra, selecionar as sementes e cuidar das lavouras eram tarefas que tinham que desempenhar. As vezes podemos pensar que a matemática não tem nada a ver com isso, mas tem sim, a agricultura só evoluiu com o auxílio da matemática, pois desde a correção do solo, a adubação, o número de sementes por hectare, bem como a distância entre elas, são calculadas a fim de proporcionar alta produtividade.
Preparar a terra, selecionar as sementes e cuidar das lavouras eram tarefas que tinham que desempenhar. As vezes podemos pensar que a matemática não tem nada a ver com isso, mas tem sim, a agricultura só evoluiu com o auxílio da matemática, pois desde a correção do solo, a adubação, o número de sementes por hectare, bem como a distância entre elas, são calculadas a fim de proporcionar alta produtividade.
segunda-feira, 9 de novembro de 2009
Teoria dos Números
A teoria dos números é o ramo da matemática pura que estuda propriedades dos números em geral, e em particular dos números inteiros, bem como a larga classe de problemas que surge no seu estudo.
A teoria dos números pode ser subdividida em muitas áreas, de acordo com o método utilizado e do tipo de questão investigada.
O termo “aritmética” é também utilizado para se referir à teoria dos números. Esse é um termo antigo, que não é mais tão popular como já foi. A teoria dos números foi também chamada de aritmética superior, mas esse termo também caiu em desuso. Entretanto, esse termo ainda aparece nos nomes de objetos matemáticos relacionados (funções aritméticas, aritmética de curvas elípticas, teorema fundamental da aritmética). Esse sentido do termo aritmética não deve ser confundido ou com aritmética elementar, ou com o ramo da lógica que estuda aritmética de Peano como um sistema formal. Os matemáticos que trabalham na área de teoria dos números são chamados teoristas dos números.
Tradicionalmente, a teoria dos números é o ramo da matemática pura que se preocupa com as propriedades dos números inteiros e que envolve muitos problemas que são facilmente compreendidos mesmo por não-matemáticos. A disciplina veio a ocupar-se com uma classe mais vasta de problemas que surgiram naturalmente do estudo dos números inteiros. A teoria dos números pode ser subdividida em vários campos, de acordo com os métodos que são usados e das questões que são investigadas, a saber:
Sobre a teoria elementar dos números
Normalmente, o primeiro contacto com a teoria dos números é por meio da teoria elementar dos números. Através desta disciplina podem ser introduzidas propriedades bastante interessantes e notáveis dos números inteiros, mas, que ao serem propostas como questões a serem resolvidas, ou teoremas a serem provados, são geralmente de difícil solução ou comprovação. Estas questões estão ligadas basicamente a três tipos de pesquisas, a saber:
1. Estudos específicos sobre as propriedades dos números primos;
2. Estudos envolvendo a pesquisa de algoritmos eficientes para a aritmética básica;
3. Estudos sobre a resolução de equações diofantinas.
Estas questões directamente ligadas ao estudo do conjunto dos números inteiros e o seu subconjunto: o conjunto dos números naturais.
A título de ilustração, alguns dos muitos problemas que podem ser focalizados nestas três áreas da teoria elementar dos números são, a seguir, rapidamente comentados.
Propriedades dos números primos
Teorema de Euclides
"Existe uma quantidade infinita de números primos."
Euclides demonstrou este teorema da seguinte forma:
Sabe-se que os números inteiros são primos ou múltiplos de primos. Isso é facilmente verificado quando factorizamos um número inteiro em números primos. Exs: 8 = 2*2*2; 10 = 5*2; 42 = 3*2*7. (lembrando que 2, 3, 5 e 7 são inteiros primos).
Para um número inteiro qualquer "M" temos a sua decomposição em factores primos (fatoração ou factorização) da seguinte forma: (P' * P" * P"' * ...), onde P é um número primo qualquer que faz parte de sua factorização. E sabe-se que nenhum dos números primos que compõem a factorização de M, integram a factorização de M+1. Isso significa que dois números inteiros consecutivos possuem factorizações totalmente diferentes.
A jogada de mestre de Euclides foi que:
Suponhamos que os números primos sejam finitos. Então existe um número hipotético X cuja decomposição em factores primos é a multiplicação de todos os primos existentes (P' * P" * P"' * ...). Sendo assim o número seguinte X+1 não possui na sua factorização nenhum dos primos citados na decomposição em factores do seu antecessor X. Logo X+1 é outro primo ou multiplo de um primo que não está na lista de primos.
Assim, Euclides provou por absurdo que o conjunto dos números primos é infinito.
Conjectura de Goldbach
"Pode-se exprimir os números pares, maiores que 2, como a soma de dois números primos?"
Esta é a denominada Conjectura de Goldbach, formulada em 1746 e até hoje não provada, apesar de ter sido verificada para números da ordem de 4*10^14.
Quantos números primos terminam com o dígito 7? Seriam infinitos? São 664579 os números primos menores que 10 milhões, sendo que os números primos que terminam em 1, 3, 7 e 9 respectivamente são 166104, 166230, 166211 e 166032, isto corresponde a 24.99%, 25.01%, 25.01% e 24.98% deste total de números. O que isto sugere?
Há infinitos pares de números denominados primos gêmeos: números primos que diferem um do outro de apenas duas unidades, como (3 ; 5), (71 ; 73) ou (1000000007; 1000000009)?
Algoritmos eficientes para a aritmética básica
Muitas das modernas aplicações que estão a ser levadas a efeito no campo da criptografia dependem de algumas das propriedades dos números inteiros e dos números primos. No entanto, as aplicações aritméticas envolvendo as propriedades dos números inteiros estão directamente relacionadas com a capacidade de se resolver dois problemas fundamentais:
1. o problema do teste para verificar se o número é primo;
2. o problema da decomposição em factores primos.
Aparentemente são problemas de simples solução, até que passem a envolver numerais com dezenas e até centenas de dígitos.
História da Teoria dos Números – Linha do Tempo
600 BC - Surgiu então a Teoria dos Números, cerca de 600 aC quando Pitágoras e os seus discípulos começaram a estudar as propriedades dos números racionais. Os pitagóricos rendiam verdadeiro culto místico ao conceito de número, considerando-o como essência das coisas.
230 BC - Erastótenes é conhecido na Teoria dos Números pelo seu crivo, descrito no texto Testes simples de primalidade, criado em 230 aC e com o qual é possível encontrar todos os números primos menores que um dado número inteiro n. Criou também o mesolábio, instrumento que permite resolver o problema da média proporcional. No fim da sua vida, Erastótenes ficou cego e, desesperado, cometeu suicídio recusando-se a se alimentar.
1494 - escreveu Tratactus de Computis et Scripturis (Contabilidade por Partidas Dobradas), publicado em 1494, enfatizando que à teoria contá bil do débito e do crédito corresponde à teoria dos números positivos e negativos. Pacioli foi matemático, teólogo, contabilista entre outras profissões. Deixou muitas obras, destacando-se a Summa de Arithmética, Geometria, Proportioni et Proporcionalitá , impressa em Veneza, na qual está inserido o seu tratado sobre Contabilidade e Escrituração.
1651 - Primeiro a pressão do trabalho o impedia de dedicar muito tempo a matemática. Segundo a Fronde, a guerra civil francesa, que teve lugar neste período, afetou muito a cidade de Toulouse. Finalmente a praga de 1651 que teve grandes conseqüências tanto para os habitantes de Toulouse e que quase foi fatal para o próprio Fermat. Entretanto, foi neste período, que Fermat se dedicou a teoria dos números
. 1801 - Porém o desenvolvimento sistemático da Teoria dos Números somente iniciou com a obra Disquisitiones arithmeticae, do alemão CF Gauss, publicada em 1801. Objetivos A investigação teve como objetivo geral desenvolver atividades didáticas envolvendo a Teoria dos Números, analisando o processo de ensino e aprendizagem de conceitos importantes que devem ser desenvolvidos no Ensino Básico, permitindo aos estudantes o refinamento do pensamento aritmético
1897 - Em matemática, o sistema dos números p-ádicos foi pela primeira vez descrito por Kurt Hensel em 1897. Para cada número primo p, o conjunto de números p-ádicos estende a aritmética ordinária dos números racionais de um modo diferente da extensão do dos números racionais para os reais ou complexos. O principal uso destes outros conjuntos é na teoria de números. Este artigo é um esboço sobre Matemática.
1970 - Teoria dos Números Surreais foi criada pelo matemático John H. Conway por volta de 1970. Curiosamente, a primeira publicação nesta rica área de investigação foi uma novela, que aqui se apresenta aos leitores portugueses, pelo matemático DE Knuth. Nas palavras do autor, o seu objectivo fundamental não consistiu em ensinar a teoria de Conway, mas sim em mostrar como uma pessoa a poderia ter descoberto.
Bibliografia: wikipédia
A teoria dos números pode ser subdividida em muitas áreas, de acordo com o método utilizado e do tipo de questão investigada.
O termo “aritmética” é também utilizado para se referir à teoria dos números. Esse é um termo antigo, que não é mais tão popular como já foi. A teoria dos números foi também chamada de aritmética superior, mas esse termo também caiu em desuso. Entretanto, esse termo ainda aparece nos nomes de objetos matemáticos relacionados (funções aritméticas, aritmética de curvas elípticas, teorema fundamental da aritmética). Esse sentido do termo aritmética não deve ser confundido ou com aritmética elementar, ou com o ramo da lógica que estuda aritmética de Peano como um sistema formal. Os matemáticos que trabalham na área de teoria dos números são chamados teoristas dos números.
Tradicionalmente, a teoria dos números é o ramo da matemática pura que se preocupa com as propriedades dos números inteiros e que envolve muitos problemas que são facilmente compreendidos mesmo por não-matemáticos. A disciplina veio a ocupar-se com uma classe mais vasta de problemas que surgiram naturalmente do estudo dos números inteiros. A teoria dos números pode ser subdividida em vários campos, de acordo com os métodos que são usados e das questões que são investigadas, a saber:
Sobre a teoria elementar dos números
Normalmente, o primeiro contacto com a teoria dos números é por meio da teoria elementar dos números. Através desta disciplina podem ser introduzidas propriedades bastante interessantes e notáveis dos números inteiros, mas, que ao serem propostas como questões a serem resolvidas, ou teoremas a serem provados, são geralmente de difícil solução ou comprovação. Estas questões estão ligadas basicamente a três tipos de pesquisas, a saber:
1. Estudos específicos sobre as propriedades dos números primos;
2. Estudos envolvendo a pesquisa de algoritmos eficientes para a aritmética básica;
3. Estudos sobre a resolução de equações diofantinas.
Estas questões directamente ligadas ao estudo do conjunto dos números inteiros e o seu subconjunto: o conjunto dos números naturais.
A título de ilustração, alguns dos muitos problemas que podem ser focalizados nestas três áreas da teoria elementar dos números são, a seguir, rapidamente comentados.
Propriedades dos números primos
Teorema de Euclides
"Existe uma quantidade infinita de números primos."
Euclides demonstrou este teorema da seguinte forma:
Sabe-se que os números inteiros são primos ou múltiplos de primos. Isso é facilmente verificado quando factorizamos um número inteiro em números primos. Exs: 8 = 2*2*2; 10 = 5*2; 42 = 3*2*7. (lembrando que 2, 3, 5 e 7 são inteiros primos).
Para um número inteiro qualquer "M" temos a sua decomposição em factores primos (fatoração ou factorização) da seguinte forma: (P' * P" * P"' * ...), onde P é um número primo qualquer que faz parte de sua factorização. E sabe-se que nenhum dos números primos que compõem a factorização de M, integram a factorização de M+1. Isso significa que dois números inteiros consecutivos possuem factorizações totalmente diferentes.
A jogada de mestre de Euclides foi que:
Suponhamos que os números primos sejam finitos. Então existe um número hipotético X cuja decomposição em factores primos é a multiplicação de todos os primos existentes (P' * P" * P"' * ...). Sendo assim o número seguinte X+1 não possui na sua factorização nenhum dos primos citados na decomposição em factores do seu antecessor X. Logo X+1 é outro primo ou multiplo de um primo que não está na lista de primos.
Assim, Euclides provou por absurdo que o conjunto dos números primos é infinito.
Conjectura de Goldbach
"Pode-se exprimir os números pares, maiores que 2, como a soma de dois números primos?"
Esta é a denominada Conjectura de Goldbach, formulada em 1746 e até hoje não provada, apesar de ter sido verificada para números da ordem de 4*10^14.
Quantos números primos terminam com o dígito 7? Seriam infinitos? São 664579 os números primos menores que 10 milhões, sendo que os números primos que terminam em 1, 3, 7 e 9 respectivamente são 166104, 166230, 166211 e 166032, isto corresponde a 24.99%, 25.01%, 25.01% e 24.98% deste total de números. O que isto sugere?
Há infinitos pares de números denominados primos gêmeos: números primos que diferem um do outro de apenas duas unidades, como (3 ; 5), (71 ; 73) ou (1000000007; 1000000009)?
Algoritmos eficientes para a aritmética básica
Muitas das modernas aplicações que estão a ser levadas a efeito no campo da criptografia dependem de algumas das propriedades dos números inteiros e dos números primos. No entanto, as aplicações aritméticas envolvendo as propriedades dos números inteiros estão directamente relacionadas com a capacidade de se resolver dois problemas fundamentais:
1. o problema do teste para verificar se o número é primo;
2. o problema da decomposição em factores primos.
Aparentemente são problemas de simples solução, até que passem a envolver numerais com dezenas e até centenas de dígitos.
História da Teoria dos Números – Linha do Tempo
600 BC - Surgiu então a Teoria dos Números, cerca de 600 aC quando Pitágoras e os seus discípulos começaram a estudar as propriedades dos números racionais. Os pitagóricos rendiam verdadeiro culto místico ao conceito de número, considerando-o como essência das coisas.
230 BC - Erastótenes é conhecido na Teoria dos Números pelo seu crivo, descrito no texto Testes simples de primalidade, criado em 230 aC e com o qual é possível encontrar todos os números primos menores que um dado número inteiro n. Criou também o mesolábio, instrumento que permite resolver o problema da média proporcional. No fim da sua vida, Erastótenes ficou cego e, desesperado, cometeu suicídio recusando-se a se alimentar.
1494 - escreveu Tratactus de Computis et Scripturis (Contabilidade por Partidas Dobradas), publicado em 1494, enfatizando que à teoria contá bil do débito e do crédito corresponde à teoria dos números positivos e negativos. Pacioli foi matemático, teólogo, contabilista entre outras profissões. Deixou muitas obras, destacando-se a Summa de Arithmética, Geometria, Proportioni et Proporcionalitá , impressa em Veneza, na qual está inserido o seu tratado sobre Contabilidade e Escrituração.
1651 - Primeiro a pressão do trabalho o impedia de dedicar muito tempo a matemática. Segundo a Fronde, a guerra civil francesa, que teve lugar neste período, afetou muito a cidade de Toulouse. Finalmente a praga de 1651 que teve grandes conseqüências tanto para os habitantes de Toulouse e que quase foi fatal para o próprio Fermat. Entretanto, foi neste período, que Fermat se dedicou a teoria dos números
. 1801 - Porém o desenvolvimento sistemático da Teoria dos Números somente iniciou com a obra Disquisitiones arithmeticae, do alemão CF Gauss, publicada em 1801. Objetivos A investigação teve como objetivo geral desenvolver atividades didáticas envolvendo a Teoria dos Números, analisando o processo de ensino e aprendizagem de conceitos importantes que devem ser desenvolvidos no Ensino Básico, permitindo aos estudantes o refinamento do pensamento aritmético
1897 - Em matemática, o sistema dos números p-ádicos foi pela primeira vez descrito por Kurt Hensel em 1897. Para cada número primo p, o conjunto de números p-ádicos estende a aritmética ordinária dos números racionais de um modo diferente da extensão do dos números racionais para os reais ou complexos. O principal uso destes outros conjuntos é na teoria de números. Este artigo é um esboço sobre Matemática.
1970 - Teoria dos Números Surreais foi criada pelo matemático John H. Conway por volta de 1970. Curiosamente, a primeira publicação nesta rica área de investigação foi uma novela, que aqui se apresenta aos leitores portugueses, pelo matemático DE Knuth. Nas palavras do autor, o seu objectivo fundamental não consistiu em ensinar a teoria de Conway, mas sim em mostrar como uma pessoa a poderia ter descoberto.
Bibliografia: wikipédia
domingo, 8 de novembro de 2009
Geometria Euclidiana
Euclides de Alexandria nasceu em 325 a.C. e morre em 265 a.C., foi um matemático grego, que ficou conhecido pelo seu mais famoso trabalho “Os Elementos”. Mto pouco sabe sobre sua vida, sabe-se que ensinou em Alexandria, no Egito, durante o reinado do Rei Ptolomeu (306-283 a.c.). Alcançou grande prestígio pela forma brilhante como ensinava Geometria e Álgebra, conseguindo assim atrair para suas lições públicas um grande número de discípulos.
É um dos mais influentes matemáticos gregos da Antiguidade. É possível que tenha aprendido matemática em Atenas, com os discípulos de Platão.
Euclides tornou-se professor e estudioso da escola em Alexandria conhecida como Museum. Enquanto esteve no Museum, ele escreveu seu trabalho de maior influência, os Elementos.
Fundou a primeira escola de matemática de Alexandria, onde havia a biblioteca mais impressionante da Antiguidade, onde havia cerca de 700.000 volumes e foi ai que suas obras tomaram forma.
Como Euclides escreveu “Os Elementos”, que é usado a mais de 2.000 anos, esse lhe rendeu o título de “Pai da Geometria”.
Obras de Euclides
Como todos sabem, sua obra Stoichia (Os Elementos, 300 a.c), foi sua mais famosa. Essa obra consiste em uma obra de treze volumes, escrita em grego, que cobria toda aritmética, a álgebra e a geometria conhecidas até então no mundo grego, reunindo o trabalho de seus predecessores, como Hipócrates e Eudóxio, sistematizava todo o conhecimento geométrico dos antigos e intercalava os teoremas já conhecidos então com a demonstração de mtos outros, que completavam lacunas e davam coerência e encadeamento lógico ao sistema por ele criado. são os livros mais difundidos da história. Mais de mil edições foram impressas desde a primeira versão impressa de 1482 e, mesmo antes desta data, foram os textos básicos da matemática padrão do ocidente. A qualidade das definições e o desenvolvimento axiomático da aritmética evoluíram muito desde a época de Euclides porém, o valor fundamental dos textos euclidianos é difícil de ser superado
Nos Elementos, Euclides chama "postulados" as leis que não podem ser demonstradas, que tratam de retas, ângulos, e figuras - logo são consideradas verdadeiras, e utilizadas para demonstrar as outras leis geométricas. As leis demonstráveis são chamadas "teoremas" ou "proposições".
Escreveu ainda Óptica; sobre a visão e sobre astrologia, música e mecânica, além de outros livros sobre matemática. Entre eles citam-se Lugares de superfície, Pseudaria e Porismas. , Os Dados, outro livro de texto, uma espécie de manual de tabelas de uso interno na Academia e complemento dos seis primeiros volumes de Os Elementos, Divisão de figuras; sobre divisão geométrica de figuras planas, Os Fenômenos; sobre astronomia, sobreviveram parcialmente e hj são, depois de A Esfera de Autólico, os mais antigos tratados científicos gregos existentes, “A Divisão” contém 36 proposições relativas à divisão de configurações planas. E ainda talvez exista “Porismas de Euclides”; que poderiam conter aproximações da Geometria Analítica e Pappus dá-nos uma noção do que um porisma como algo entre um teorema (em que alguma coisa é proposta para resolver) e um problema (em que alguma coisa é proposta para construir).
Geometria Euclidiana
O grande organizador da geometria grega é Euclides (300 a.C.). A base da geometria euclidiana, que dominou de forma absoluta até o século XIX, tem como postulado a existência de apenas uma linha paralela a uma linha “m” que contém um dado ponto não pertencente à linha “m”.
Teorema de Pitágoras, o mais importante da geometria euclidiana, foi “descoberto” empiricamente pelos agricultores egípcios, e só posteriormente foi depurado do seu conteúdo empírico pelos geômetras gregos.
Com o desenvolvimento das Ciências, começou a ficar claro que, por trás do mundo do dia-a-dia, existe um Universo mais vasto que só pode ser interpretado com a ajuda de uma geometria mais ampla. Todavia, até ao século XIX, a arquitetura lógica euclidiana serviu de modelo de estruturação de outros ramos do conhecimento, pois foi considerada altamente satisfatória. Há que referir como exceção o 5º postulado que, desde a Antigüidade, despertou a atenção de vários matemáticos, o que acabará por conduzir ao aparecimento de novas geometrias.
A origem da geometria que ainda hoje é ensinada nas escolas remonta à Antiguidade; considera-se que os povos gregos, obedecendo a motivações de ordem prática suscitada por atividades como a Astronomia, a Navegação e a Agricultura, desenvolveram técnicas adequadas para medir a terra, iniciando-se na geometria.
Durante séculos esse sistema valeu como modelo insuperável do saber dedutivo: os termos da teoria são introduzidos depois de terem sido definidos e as proposições não são aceitas se não foram demonstradas. As proposições primitivas, base da cadeia sobre a qual se desenvolvem as deduções sucessivas, Euclides as escolhia de tal modo que ninguém pudesse levantar dúvidas sobre a sua veracidade: eram auto-evidentes, portanto isentas de demonstração. Leibniz afirmaria mais tarde que os gregos raciocinavam com toda a exatidão possível em matemática e deixaram à humanidade modelos de arte demonstrativa.
Panorama histórico
No entanto, existe a certeza de que, devido a Euclides, os conceitos de geometria adquiriram forma cientifica na Grécia. Embora a sua origem se encontre no antigo Egito, local onde sentiu a necessidade de efetuarem medições da terra devido às inundações periódicas do rio Nilo.
Medir as terras para fixar os limites das propriedades era uma tarefa importante nas civilizações antigas, especialmente no Egito. Ali, as enchentes do Nilo derrubavam os marcos fixados no ano anterior, obrigando os proprietários a refazer os limites de suas áreas de cultivo. Os egípcios tornaram-se hábeis delimitadores de terras e devem Ter descoberto e utilizando inúmeros princípios úteis relativos às características de linhas, ângulos e figuras - como por exemplo, o de que a soma dos três ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos, e o de que a área de um paralelogramo é igual à do retângulo que tenha a mesma base e a mesma altura.
Os gregos perceberam o que os egípcios eram capazes de fazer, e assimilaram seus princípios empíricos. A este conhecimento, os gregos deram o nome de geometria - isto é, medida da terra . Mas os gregos apreciavam a Geometria também em virtude de seu interesse teórico. Aos gregos não bastou o critério empírico; procuraram encontrar demonstrações dedutivas rigorosas das leis acerca do espaço, que governavam as aplicações práticas da Geometria. Alguns filósofos gregos, em particular Pitágoras e Platão, davam enorme importância intelectual à Geometria, considerando que em sua forma pura e abstrata ela se aproximava bastante da metafísica e da religião.
É um dos mais influentes matemáticos gregos da Antiguidade. É possível que tenha aprendido matemática em Atenas, com os discípulos de Platão.
Euclides tornou-se professor e estudioso da escola em Alexandria conhecida como Museum. Enquanto esteve no Museum, ele escreveu seu trabalho de maior influência, os Elementos.
Fundou a primeira escola de matemática de Alexandria, onde havia a biblioteca mais impressionante da Antiguidade, onde havia cerca de 700.000 volumes e foi ai que suas obras tomaram forma.
Como Euclides escreveu “Os Elementos”, que é usado a mais de 2.000 anos, esse lhe rendeu o título de “Pai da Geometria”.
Obras de Euclides
Como todos sabem, sua obra Stoichia (Os Elementos, 300 a.c), foi sua mais famosa. Essa obra consiste em uma obra de treze volumes, escrita em grego, que cobria toda aritmética, a álgebra e a geometria conhecidas até então no mundo grego, reunindo o trabalho de seus predecessores, como Hipócrates e Eudóxio, sistematizava todo o conhecimento geométrico dos antigos e intercalava os teoremas já conhecidos então com a demonstração de mtos outros, que completavam lacunas e davam coerência e encadeamento lógico ao sistema por ele criado. são os livros mais difundidos da história. Mais de mil edições foram impressas desde a primeira versão impressa de 1482 e, mesmo antes desta data, foram os textos básicos da matemática padrão do ocidente. A qualidade das definições e o desenvolvimento axiomático da aritmética evoluíram muito desde a época de Euclides porém, o valor fundamental dos textos euclidianos é difícil de ser superado
Nos Elementos, Euclides chama "postulados" as leis que não podem ser demonstradas, que tratam de retas, ângulos, e figuras - logo são consideradas verdadeiras, e utilizadas para demonstrar as outras leis geométricas. As leis demonstráveis são chamadas "teoremas" ou "proposições".
Escreveu ainda Óptica; sobre a visão e sobre astrologia, música e mecânica, além de outros livros sobre matemática. Entre eles citam-se Lugares de superfície, Pseudaria e Porismas. , Os Dados, outro livro de texto, uma espécie de manual de tabelas de uso interno na Academia e complemento dos seis primeiros volumes de Os Elementos, Divisão de figuras; sobre divisão geométrica de figuras planas, Os Fenômenos; sobre astronomia, sobreviveram parcialmente e hj são, depois de A Esfera de Autólico, os mais antigos tratados científicos gregos existentes, “A Divisão” contém 36 proposições relativas à divisão de configurações planas. E ainda talvez exista “Porismas de Euclides”; que poderiam conter aproximações da Geometria Analítica e Pappus dá-nos uma noção do que um porisma como algo entre um teorema (em que alguma coisa é proposta para resolver) e um problema (em que alguma coisa é proposta para construir).
Geometria Euclidiana
O grande organizador da geometria grega é Euclides (300 a.C.). A base da geometria euclidiana, que dominou de forma absoluta até o século XIX, tem como postulado a existência de apenas uma linha paralela a uma linha “m” que contém um dado ponto não pertencente à linha “m”.
Teorema de Pitágoras, o mais importante da geometria euclidiana, foi “descoberto” empiricamente pelos agricultores egípcios, e só posteriormente foi depurado do seu conteúdo empírico pelos geômetras gregos.
Com o desenvolvimento das Ciências, começou a ficar claro que, por trás do mundo do dia-a-dia, existe um Universo mais vasto que só pode ser interpretado com a ajuda de uma geometria mais ampla. Todavia, até ao século XIX, a arquitetura lógica euclidiana serviu de modelo de estruturação de outros ramos do conhecimento, pois foi considerada altamente satisfatória. Há que referir como exceção o 5º postulado que, desde a Antigüidade, despertou a atenção de vários matemáticos, o que acabará por conduzir ao aparecimento de novas geometrias.
A origem da geometria que ainda hoje é ensinada nas escolas remonta à Antiguidade; considera-se que os povos gregos, obedecendo a motivações de ordem prática suscitada por atividades como a Astronomia, a Navegação e a Agricultura, desenvolveram técnicas adequadas para medir a terra, iniciando-se na geometria.
Durante séculos esse sistema valeu como modelo insuperável do saber dedutivo: os termos da teoria são introduzidos depois de terem sido definidos e as proposições não são aceitas se não foram demonstradas. As proposições primitivas, base da cadeia sobre a qual se desenvolvem as deduções sucessivas, Euclides as escolhia de tal modo que ninguém pudesse levantar dúvidas sobre a sua veracidade: eram auto-evidentes, portanto isentas de demonstração. Leibniz afirmaria mais tarde que os gregos raciocinavam com toda a exatidão possível em matemática e deixaram à humanidade modelos de arte demonstrativa.
Panorama histórico
No entanto, existe a certeza de que, devido a Euclides, os conceitos de geometria adquiriram forma cientifica na Grécia. Embora a sua origem se encontre no antigo Egito, local onde sentiu a necessidade de efetuarem medições da terra devido às inundações periódicas do rio Nilo.
Medir as terras para fixar os limites das propriedades era uma tarefa importante nas civilizações antigas, especialmente no Egito. Ali, as enchentes do Nilo derrubavam os marcos fixados no ano anterior, obrigando os proprietários a refazer os limites de suas áreas de cultivo. Os egípcios tornaram-se hábeis delimitadores de terras e devem Ter descoberto e utilizando inúmeros princípios úteis relativos às características de linhas, ângulos e figuras - como por exemplo, o de que a soma dos três ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos, e o de que a área de um paralelogramo é igual à do retângulo que tenha a mesma base e a mesma altura.
Os gregos perceberam o que os egípcios eram capazes de fazer, e assimilaram seus princípios empíricos. A este conhecimento, os gregos deram o nome de geometria - isto é, medida da terra . Mas os gregos apreciavam a Geometria também em virtude de seu interesse teórico. Aos gregos não bastou o critério empírico; procuraram encontrar demonstrações dedutivas rigorosas das leis acerca do espaço, que governavam as aplicações práticas da Geometria. Alguns filósofos gregos, em particular Pitágoras e Platão, davam enorme importância intelectual à Geometria, considerando que em sua forma pura e abstrata ela se aproximava bastante da metafísica e da religião.
Cálculo
Nosso projeto em cálculo visava mostrar como calcular a velocidade, a aceleração, etc. Esse projeto vai nos mostrar como calcular através do Cálculo infinitesimal, como calcular exatamente a velocidade e a aceleração através das derivadas. Também dá para se calcular usando limites. Vamos supor o seguinte problema que explica bem esse nosso projeto: suponha um carro percorrendo um trecho de estrada entre duas cidades. Sabemos que o carro não mantém sempre a mesma velocidade durante o trajeto, Istoé, sua velocidade varia com o tempo.
Na prática, para estudar o movimento do carro é interessante conhecer e tratar o movimento de uma forma global e não detalhar esse estudo em cada ponto da estrada,
A velocidade escalar média (Vm) é uma informação sobre o movimento global. Para obtê-la, dividimos a distância total percorrida pelo tempo gasto na viagem.
Como exemplo, imagine que, numa viagem de São Paulo a São José dos Campos, um carro percorreu a distância de 100 km em duas horas.
É óbvio que durante o trajeto, a velocidade do carro, em cada instante, às vezes foi maios e outras vezes menor do que 50 km/h. a velocidade escalar média representa a velocidade constante que o carro deveria manter para, partindo da mesma posição inicial, chegara à mesma posição final gastando o mesmo tempo.
Se formos diminuindo cada vez mais o intervalo de tempo Δt, podemos fazer Δt torna-se tão pequeno quanto desejarmos, ou seja, podemos fazer Δt tender a zero.
À medida que Δt diminui e se aproxima de zero no limite, a velocidade escalar média aproxima-se da velocidade escalar instantânea do carro, isto é:
Vamos mostrar como calcular esse limite, supondo que um ponto material se desloca em uma trajetória retilínea obedecendo à seguinte função horária das posições: 
, em s é a posição no instante t e a, b e c são constantes.
Para calcular a velocidade escalar instantânea num instante t, inicialmente, vamos calcular a velocidade escalar média entre o instante considerado t1=t e um instante posterior t2= t+Δt. Assim, temos:
S1=at2+bt+c
S2=a (t+Δt)2+b(t+Δt) + c= at2+2atΔt+aΔt+bt+bΔt+c
O espaço percorrido é igual a:
Δs= s1-s2⇒Δs=2atΔt+aΔt2+bΔt
A velocidade escalar media é igual a:
Vm=
⇒ Vm=
Vm= 2at+aΔt+b
Fazendo Δt tender a zero, obtemos a velocidade escalar instantânea no instante t:
V=
O cálculo do limite efetuado é a função matemática chamada derivada da função s=f(t).
Do exposto podemos definir:
A velocidade escalar instantânea é a derivada da função horária das posições s=f(t) em relação ao tempo.
Algebricamente, temos:
V=
ou v=s’(t)
Se a função horária das posições for do tipo s(t)=atn+bt+c, teremos:
V=
O valor da velocidade escalar instantânea quando t=0 (origem dos tempos) é denominado velocidade escalar instantânea inicial. Indica-se por v0. Nesse caso,temos:
t=0
v0=b
Aceleração escalar instantânea
O conceito de aceleração é introduzido de maneira análogo ao de velocidade: ela mede a variação da velocidade em relação ao tempo.
A aceleração escalar média am do carro durante o intervalo de tempo 
é a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo, isto é: am=
.
À medida que diminui e se aproxima do zero, no limite, a aceleração escalar média se aproxima da aceleração escalar instantânea a do carro, isto é:
a=
ou a=
Usando o conceito de derivada, podemos dizer que:
A aceleração escalar instantânea é a derivada da velocidade escalar instantânea v=f(t) em relação ao tempo.
Algebricamente, temos:
a
ou a=v’(t) ou a=s’’(t)
A aceleração escalar instantânea é a derivada primeira de v=f(t) ou a derivada segunda de s=f(t).
A palavra instantânea pode ser subentendida e usarmos apenas velocidade escalar e aceleração escalar.
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