Cálculo

Nosso projeto em cálculo visava mostrar como calcular a velocidade, a aceleração, etc. Esse projeto vai nos mostrar como calcular através do Cálculo infinitesimal, como calcular exatamente a velocidade e a aceleração através das derivadas. Também dá para se calcular usando limites. Vamos supor o seguinte problema que explica bem esse nosso projeto: suponha um carro percorrendo um trecho de estrada entre duas cidades. Sabemos que o carro não mantém sempre a mesma velocidade durante o trajeto, Istoé, sua velocidade varia com o tempo.

Na prática, para estudar o movimento do carro é interessante conhecer e tratar o movimento de uma forma global e não detalhar esse estudo em cada ponto da estrada,

A velocidade escalar média (Vm) é uma informação sobre o movimento global. Para obtê-la, dividimos a distância total percorrida pelo tempo gasto na viagem.

Como exemplo, imagine que, numa viagem de São Paulo a São José dos Campos, um carro percorreu a distância de 100 km em duas horas.

É óbvio que durante o trajeto, a velocidade do carro, em cada instante, às vezes foi maios e outras vezes menor do que 50 km/h. a velocidade escalar média representa a velocidade constante que o carro deveria manter para, partindo da mesma posição inicial, chegara à mesma posição final gastando o mesmo tempo.

Se formos diminuindo cada vez mais o intervalo de tempo Δt, podemos fazer Δt torna-se tão pequeno quanto desejarmos, ou seja, podemos fazer Δt tender a zero.

À medida que Δt diminui e se aproxima de zero no limite, a velocidade escalar média aproxima-se da velocidade escalar instantânea do carro, isto é:

Vamos mostrar como calcular esse limite, supondo que um ponto material se desloca em uma trajetória retilínea obedecendo à seguinte função horária das posições: , em s é a posição no instante t e a, b e c são constantes.

Para calcular a velocidade escalar instantânea num instante t, inicialmente, vamos calcular a velocidade escalar média entre o instante considerado t1=t e um instante posterior t2= t+Δt. Assim, temos:

S1=at2+bt+c

S2=a (t+Δt)2+b(t+Δt) + c= at2+2atΔt+aΔt+bt+bΔt+c

O espaço percorrido é igual a:

Δs= s1-s2⇒Δs=2atΔt+aΔt2+bΔt

A velocidade escalar media é igual a:

Vm=⇒ Vm= Vm= 2at+aΔt+b

Fazendo Δt tender a zero, obtemos a velocidade escalar instantânea no instante t:

V=

O cálculo do limite efetuado é a função matemática chamada derivada da função s=f(t).

Do exposto podemos definir:

A velocidade escalar instantânea é a derivada da função horária das posições s=f(t) em relação ao tempo.

Algebricamente, temos:

V= ou v=s’(t)

Se a função horária das posições for do tipo s(t)=atⁿ+bt+c, teremos:

V=

O valor da velocidade escalar instantânea quando t=0 (origem dos tempos) é denominado velocidade escalar instantânea inicial. Indica-se por v₀. Nesse caso,temos:

t=0v₀=b

Aceleração escalar instantânea

O conceito de aceleração é introduzido de maneira análogo ao de velocidade: ela mede a variação da velocidade em relação ao tempo.

A aceleração escalar média a_m do carro durante o intervalo de tempo é a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo, isto é: a_m=.

À medida que diminui e se aproxima do zero, no limite, a aceleração escalar média se aproxima da aceleração escalar instantânea a do carro, isto é:

a= ou a=

Usando o conceito de derivada, podemos dizer que:

A aceleração escalar instantânea é a derivada da velocidade escalar instantânea v=f(t) em relação ao tempo.

Algebricamente, temos:

a ou a=v’(t) ou a=s’’(t)

A aceleração escalar instantânea é a derivada primeira de v=f(t) ou a derivada segunda de s=f(t).

A palavra instantânea pode ser subentendida e usarmos apenas velocidade escalar e aceleração escalar.