Teoria dos Números

A teoria dos números é o ramo da matemática pura que estuda propriedades dos números em geral, e em particular dos números inteiros, bem como a larga classe de problemas que surge no seu estudo.
A teoria dos números pode ser subdividida em muitas áreas, de acordo com o método utilizado e do tipo de questão investigada.
O termo “aritmética” é também utilizado para se referir à teoria dos números. Esse é um termo antigo, que não é mais tão popular como já foi. A teoria dos números foi também chamada de aritmética superior, mas esse termo também caiu em desuso. Entretanto, esse termo ainda aparece nos nomes de objetos matemáticos relacionados (funções aritméticas, aritmética de curvas elípticas, teorema fundamental da aritmética). Esse sentido do termo aritmética não deve ser confundido ou com aritmética elementar, ou com o ramo da lógica que estuda aritmética de Peano como um sistema formal. Os matemáticos que trabalham na área de teoria dos números são chamados teoristas dos números.
Tradicionalmente, a teoria dos números é o ramo da matemática pura que se preocupa com as propriedades dos números inteiros e que envolve muitos problemas que são facilmente compreendidos mesmo por não-matemáticos. A disciplina veio a ocupar-se com uma classe mais vasta de problemas que surgiram naturalmente do estudo dos números inteiros. A teoria dos números pode ser subdividida em vários campos, de acordo com os métodos que são usados e das questões que são investigadas, a saber:
Sobre a teoria elementar dos números
Normalmente, o primeiro contacto com a teoria dos números é por meio da teoria elementar dos números. Através desta disciplina podem ser introduzidas propriedades bastante interessantes e notáveis dos números inteiros, mas, que ao serem propostas como questões a serem resolvidas, ou teoremas a serem provados, são geralmente de difícil solução ou comprovação. Estas questões estão ligadas basicamente a três tipos de pesquisas, a saber:
1. Estudos específicos sobre as propriedades dos números primos;
2. Estudos envolvendo a pesquisa de algoritmos eficientes para a aritmética básica;
3. Estudos sobre a resolução de equações diofantinas.
Estas questões directamente ligadas ao estudo do conjunto dos números inteiros e o seu subconjunto: o conjunto dos números naturais.
A título de ilustração, alguns dos muitos problemas que podem ser focalizados nestas três áreas da teoria elementar dos números são, a seguir, rapidamente comentados.
Propriedades dos números primos
Teorema de Euclides
"Existe uma quantidade infinita de números primos."
Euclides demonstrou este teorema da seguinte forma:
Sabe-se que os números inteiros são primos ou múltiplos de primos. Isso é facilmente verificado quando factorizamos um número inteiro em números primos. Exs: 8 = 2*2*2; 10 = 5*2; 42 = 3*2*7. (lembrando que 2, 3, 5 e 7 são inteiros primos).
Para um número inteiro qualquer "M" temos a sua decomposição em factores primos (fatoração ou factorização) da seguinte forma: (P' * P" * P"' * ...), onde P é um número primo qualquer que faz parte de sua factorização. E sabe-se que nenhum dos números primos que compõem a factorização de M, integram a factorização de M+1. Isso significa que dois números inteiros consecutivos possuem factorizações totalmente diferentes.
A jogada de mestre de Euclides foi que:
Suponhamos que os números primos sejam finitos. Então existe um número hipotético X cuja decomposição em factores primos é a multiplicação de todos os primos existentes (P' * P" * P"' * ...). Sendo assim o número seguinte X+1 não possui na sua factorização nenhum dos primos citados na decomposição em factores do seu antecessor X. Logo X+1 é outro primo ou multiplo de um primo que não está na lista de primos.
Assim, Euclides provou por absurdo que o conjunto dos números primos é infinito.
Conjectura de Goldbach
"Pode-se exprimir os números pares, maiores que 2, como a soma de dois números primos?"
Esta é a denominada Conjectura de Goldbach, formulada em 1746 e até hoje não provada, apesar de ter sido verificada para números da ordem de 4*10^14.
Quantos números primos terminam com o dígito 7? Seriam infinitos? São 664579 os números primos menores que 10 milhões, sendo que os números primos que terminam em 1, 3, 7 e 9 respectivamente são 166104, 166230, 166211 e 166032, isto corresponde a 24.99%, 25.01%, 25.01% e 24.98% deste total de números. O que isto sugere?
Há infinitos pares de números denominados primos gêmeos: números primos que diferem um do outro de apenas duas unidades, como (3 ; 5), (71 ; 73) ou (1000000007; 1000000009)?
Algoritmos eficientes para a aritmética básica
Muitas das modernas aplicações que estão a ser levadas a efeito no campo da criptografia dependem de algumas das propriedades dos números inteiros e dos números primos. No entanto, as aplicações aritméticas envolvendo as propriedades dos números inteiros estão directamente relacionadas com a capacidade de se resolver dois problemas fundamentais:
1. o problema do teste para verificar se o número é primo;
2. o problema da decomposição em factores primos.
Aparentemente são problemas de simples solução, até que passem a envolver numerais com dezenas e até centenas de dígitos.

História da Teoria dos Números – Linha do Tempo
600 BC - Surgiu então a Teoria dos Números, cerca de 600 aC quando Pitágoras e os seus discípulos começaram a estudar as propriedades dos números racionais. Os pitagóricos rendiam verdadeiro culto místico ao conceito de número, considerando-o como essência das coisas.
230 BC - Erastótenes é conhecido na Teoria dos Números pelo seu crivo, descrito no texto Testes simples de primalidade, criado em 230 aC e com o qual é possível encontrar todos os números primos menores que um dado número inteiro n. Criou também o mesolábio, instrumento que permite resolver o problema da média proporcional. No fim da sua vida, Erastótenes ficou cego e, desesperado, cometeu suicídio recusando-se a se alimentar.
1494 - escreveu Tratactus de Computis et Scripturis (Contabilidade por Partidas Dobradas), publicado em 1494, enfatizando que à teoria contá bil do débito e do crédito corresponde à teoria dos números positivos e negativos. Pacioli foi matemático, teólogo, contabilista entre outras profissões. Deixou muitas obras, destacando-se a Summa de Arithmética, Geometria, Proportioni et Proporcionalitá , impressa em Veneza, na qual está inserido o seu tratado sobre Contabilidade e Escrituração.
1651 - Primeiro a pressão do trabalho o impedia de dedicar muito tempo a matemática. Segundo a Fronde, a guerra civil francesa, que teve lugar neste período, afetou muito a cidade de Toulouse. Finalmente a praga de 1651 que teve grandes conseqüências tanto para os habitantes de Toulouse e que quase foi fatal para o próprio Fermat. Entretanto, foi neste período, que Fermat se dedicou a teoria dos números
. 1801 - Porém o desenvolvimento sistemático da Teoria dos Números somente iniciou com a obra Disquisitiones arithmeticae, do alemão CF Gauss, publicada em 1801. Objetivos A investigação teve como objetivo geral desenvolver atividades didáticas envolvendo a Teoria dos Números, analisando o processo de ensino e aprendizagem de conceitos importantes que devem ser desenvolvidos no Ensino Básico, permitindo aos estudantes o refinamento do pensamento aritmético
1897 - Em matemática, o sistema dos números p-ádicos foi pela primeira vez descrito por Kurt Hensel em 1897. Para cada número primo p, o conjunto de números p-ádicos estende a aritmética ordinária dos números racionais de um modo diferente da extensão do dos números racionais para os reais ou complexos. O principal uso destes outros conjuntos é na teoria de números. Este artigo é um esboço sobre Matemática.
1970 - Teoria dos Números Surreais foi criada pelo matemático John H. Conway por volta de 1970. Curiosamente, a primeira publicação nesta rica área de investigação foi uma novela, que aqui se apresenta aos leitores portugueses, pelo matemático DE Knuth. Nas palavras do autor, o seu objectivo fundamental não consistiu em ensinar a teoria de Conway, mas sim em mostrar como uma pessoa a poderia ter descoberto.

Bibliografia: wikipédia